11.3.1 Věty o křivkových integrálech druhého druhu

Poznámka

V následujících větách je    (popř. i  ) spojité vektorové pole definované pro každý bod obrazu uvažovaných křivek na nějakém jeho okolí. Křivky jsou alespoň po částech třídy C1.

Věta (závislost křivkového integrálu druhého druhu na parametrizaci)

Nechť dvě křivky    a    mají stejný obraz a navíc nechť existuje vzájemně jednoznačné a spojitě diferencovatelné zobrazení  takové, že .  Pak platí

,

kde kladné znaménko platí pro rostoucí  h  a záporné znaménko pro  h  klesající.

Poznámka

Předcházející tvrzení je možno vyslovit sice méně přesně, ale o to názorněji:

Pro dvě pouze parametrizací lišící se křivky se odpovídající křivkové integrály druhého druhu liší pouze znaménkem. Při souhlasné orientaci obou křivek jsou si oba integrály rovny.

Speciálně pro zadanou křivku a křivku k ní opačnou můžeme psát

.

Věta (aditivita křivkového integrálu druhého druhu vůči skládání křivek)

Nechť křivky j a y definované na intervalech  a  splňují .  Existuje-li pravá strana, platí

.

Věta (linearita křivkového integrálu druhého druhu)

Existují-li pravé strany, platí

, ,
.