11.2.1 Věty o křivkových integrálech prvního druhu

Poznámka

V následujících větách je    (popř. i  ) spojitá funkce definovaná pro každý bod obrazu uvažovaných křivek na nějakém jeho okolí. Křivky jsou alespoň po částech třídy C₁.

Věta (nezávislost křivkového integrálu prvního druhu na parametrizaci)

Nechť dvě křivky    a    mají stejný obraz a navíc nechť existuje vzájemně jednoznačné a spojitě diferencovatelné zobrazení  takové, že .  Pak platí

.

Změna parametrizace křivky tedy hodnotu křivkového integrálu prvního druhu nemění. Speciálně pro opačnou křivku platí

.

Věta (aditivita křivkového integrálu prvního druhu vůči skládání křivek)

Nechť křivky j a y jsou na intervalech  a  třídy po částech C₁ a splňují .  Pak platí

.

Viz též analogická věta pro křivky třídy C₁.

Věta (linearita křivkového integrálu prvního druhu)

, ,

.

Poznámka

Křivkové integrály prvního druhu je možno definovat nejen pro skalární funkce, ale i pro vektorová pole – a to po složkách:

.