Hmotnost nekonečně tenkého vlákna
|
|
Definice
Nekonečně tenké vlákno reprezentujeme v rovině parametricky zadanou křivkou a , kde parametr a vektorová funkce je prostá na [1]. Označme hmotnost malé části vlákna, pro kterou parametr nabývá hodnot z intervalu . Pak lineární hustotou vlákna v bodě odpovídajícím hodnotě parametru t nazveme veličinu [2]
.
Zadání
Určete hmotnost m nekonečně tenkého vlákna se zadanou lineární hustotou .
Řešení
Interval nejdříve rozdělíme dostatečně jemným dělením a hustotu považujeme na každém takto získaném segmentu za konstantní. Pak ovšem můžeme psát [3]
,
kde , i jsou obecně různá čísla z i-tého dělicího intervalu. Podobně jako v úloze 3 nedospíváme sice takto k „čistou“ Riemannově integrální sumě, opět lze však dokázat, že platí
Poznámka
Pro vlákno v prostoru s parametrizací , a je možno odvodit obdobný vzorec
[1] Vlákno tedy v žádném bodě neprotíná samo sebe, nanejvýš může mít tvar uzavřené smyčky.
[2] Všimněte si, že ve jmenovateli uvedené definiční rovnosti stojí přibližný výraz pro délku části vlákna na intervalu .
[3] S využitím Lagrangeovy věty o přírůstku.