Hmotnost nekonečně tenkého vlákna
![]() |
![]() |
Definice
Nekonečně tenké vlákno reprezentujeme v rovině parametricky
zadanou křivkou a
,
kde parametr
a
vektorová funkce
je
prostá na
[1].
Označme
hmotnost
malé části vlákna, pro kterou parametr nabývá hodnot z intervalu
. Pak
lineární hustotou vlákna v bodě odpovídajícím
hodnotě parametru t nazveme veličinu [2]
.
Zadání
Určete hmotnost m nekonečně tenkého vlákna se zadanou
lineární hustotou .
Řešení
Interval nejdříve
rozdělíme dostatečně jemným dělením a hustotu
považujeme
na každém takto získaném segmentu za konstantní. Pak ovšem můžeme psát [3]
,
kde ,
i
jsou obecně různá
čísla z i-tého dělicího intervalu. Podobně jako v úloze 3 nedospíváme
sice takto k „čistou“ Riemannově integrální sumě, opět lze však dokázat, že
platí
Poznámka
Pro vlákno v prostoru s parametrizací ,
a
je možno odvodit
obdobný vzorec
[1] Vlákno tedy v žádném bodě neprotíná samo sebe, nanejvýš může mít tvar uzavřené smyčky.
[2] Všimněte si, že ve jmenovateli uvedené
definiční rovnosti stojí přibližný výraz pro délku části vlákna na intervalu
.
[3] S využitím Lagrangeovy věty o přírůstku.