6.7.3 Délka parametricky zadané křivky
![]() |
![]() |
Zadání
Určete délku L křivky zadané v rovině parametrickými
rovnicemi a
, kde
parametr
a
vektorová funkce
je
prostá na
[1].
Řešení
Postup řešení je obdobný tomu, který jsme nastíněn v kapitole
věnované výpočtu délky grafu funkce. Interval nejdříve
rozdělíme dostatečně jemným dělením
a
na každém z dělicích intervalů
považujeme
křivku s přibližnou platností za úsečku s koncovými body
a
.
I nyní počítáme v prvním přiblížení délku oblouku L jako součet
délek těchto elementárních úseček
,
kde
a
.
Platí tedy [2]
,
kde . Protože
a
jsou obecně různá,
nezískali jsme v tomto případě „čistou“ Riemannovu integrální sumu. Přesto je
však možno ukázat, že platí (viz např. učebnice Havlíčkova [2])
Poznámka
Obdobný vzorec lze odvodit i pro křivku zadanou parametrickými
rovnicemi v prostoru ,
a
:
[1] Křivka tedy v žádném bodě neprotíná sama sebe, nanejvýš může mít stejný počáteční a koncový bod.
[2] V úpravách využíváme Lagrangeovu
větu o přírůstku: a
. Všimněte si,
že body v nichž počítáme derivace jsou pro j
a y
různé.