6.7.3 Délka parametricky zadané křivky
|
|
Zadání
Určete délku L křivky zadané v rovině parametrickými rovnicemi a , kde parametr a vektorová funkce je prostá na [1].
Řešení
Postup řešení je obdobný tomu, který jsme nastíněn v kapitole věnované výpočtu délky grafu funkce. Interval nejdříve rozdělíme dostatečně jemným dělením a na každém z dělicích intervalů považujeme křivku s přibližnou platností za úsečku s koncovými body a . I nyní počítáme v prvním přiblížení délku oblouku L jako součet délek těchto elementárních úseček , kde a . Platí tedy [2]
,
kde . Protože a jsou obecně různá, nezískali jsme v tomto případě „čistou“ Riemannovu integrální sumu. Přesto je však možno ukázat, že platí (viz např. učebnice Havlíčkova [2])
Poznámka
Obdobný vzorec lze odvodit i pro křivku zadanou parametrickými rovnicemi v prostoru , a :
[1] Křivka tedy v žádném bodě neprotíná sama sebe, nanejvýš může mít stejný počáteční a koncový bod.
[2] V úpravách využíváme Lagrangeovu větu o přírůstku: a . Všimněte si, že body v nichž počítáme derivace jsou pro j a y různé.