6.6.4 Numerický výpočet určitých integrálů

Mnoho funkcí, s nimiž se setkáváme v přírodovědných a technických aplikacích, nelze integrovat jednoduchými analytickými metodami. Při výpočtu takových integrálů se obvykle uchylujeme k numerickým metodám. Ústřední myšlenka numerického přístupu spočívá v náhradě integrované funkce funkcí jinou, zpravidla mnohem jednodušší, kterou již integrovat umíme. Přibližnou náhradou se pochopitelně dopouštíme chyby, kterou však většinou umíme učinit zanedbatelně malou.

Numerické integraci je věnováno významné místo v matematické literatuře. V této kapitole  zmíníme jen tři základní metody (obdélníkovou, lichoběžníkovou a Simpsonovu) a omezíme se při tom na výpočet vlastního integrálu , kde  a  i  b  jsou reálná čísla. Zájemce o hlubší proniknutí do problematiky odkazujeme na specializovanou literaturu (viz např. [4] a [5]).

Obdélníková metoda

Interval    rozdělíme na  n  stejných dílků s dělicími body 

,

kde pro 

.

Na každém z dělicích intervalů  ,  ,  nahradíme funkci  f  funkcí konstantní, . Obvykle se používá některá z následujících možností

 Novou, po částech konstantní funkci pak již snadno integrujeme a dostáváme

.

Lichoběžníková metoda

I zde, stejně jako v případě metody obdélníkové, rozdělíme nejdříve interval    na  n  stejných dílků. Na každém z dělicích intervalů    nahradíme integrovanou funkci funkcí lineární, jejíž graf prochází body    a  . Novou, nyní po částech lineární funkci opět snadno integrujeme a dostáváme

.

Simpsonova metoda

Interval  rozdělíme v tomto případě na sudý počet stejných dílků a na intervalech  ,  ,  ...  a    nahradíme tentokrát původní funkci  f  funkcemi kvadratickými, jejichž grafy procházejí na prvním intervalu body  ,    a  ,  na druhém intervalu body  ,    a    atd. Novou, v tomto případě po částech kvadratickou funkci integrujeme a dostáváme

.

Poznámka

Pro každou z uvedených metod získáváme zpravidla tím přesnější výsledek, čím je dělení intervalu    jemnější, a tedy počet dělicích bodů větší. I přesnost uvedených metod roste obvykle při stejném  n  v pořadí, v němž jsou uvedeny. Nejméně přesná je metoda obdélníková, nejpřesnější metoda Simpsonova.