6.3.2 Druhá věta o substituci

Věta  (druhá věta o substituci)

Nechť   je integrovatelná funkce a funkce    je diferencovatelná a prostá na nějakém intervalu reálné osy. Pak můžeme psát

.

Poznámka

Úpravy prováděné při výpočtu integrálu na pravé straně uvedené formule zahrnují náhradu    a formální náhradu  .  Nakonec je třeba se vždy vrátit k původní nezávislé proměnné, čehož dosáhneme zpětnou substitucí ,  kde symbolem    označujeme funkci inverzní k funkci  h.

Poznámka

Při praktickém použití druhé věty o substituci tvoří zpravidla nejobtížnější část výpočtu nalezení vhodné substituce  ,  která by řešený problém dostatečně zjednodušila. To zpravidla vyžaduje velkou praktickou zkušenost, kterou můžete získat jen vyřešením dostatečného množství příkladů různých typů. Naštěstí byly pro mnoho úloh, s nimiž se můžeme setkat v přírodních a technických vědách, k cíli vedoucí substituce nalezeny a shrnuty ve všech základních učebnicích integrálního počtu a v matematických příručkách (viz např. [2], [4] a [5]). O některých speciálních substitucích se zmiňujeme zde.

Příklad

.

Příklad

Při výpočtu následujícího integrálu zavádíme novou proměnnou  u,  jejíž hodnoty omezujeme intervalem  .  Pečlivě si rozmyslete, kde všude během výpočtu tento předpoklad využijeme.  Pak se pokuste podle níže uvedeného návodu vypočítat tentýž integrál s proměnnou  .

.