9.1 Základní pojmy

Definice

Obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu rozumíme rovnici

nebo, je-li takzvaně rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci, rovnici tvaru

.

Poznámka

·        Slovně řečeno, jedná se o vztah mezi funkcí  jedné proměnné a jejími derivacemi. Řád diferenciální rovnice je dán nejvyšší derivací, která se v rovnici vyskytuje.

·        Speciálním případem je diferenciální rovnice prvního řádu  nebo, je-li rozřešena vzhledem k první derivaci,.

Příklad

Rovnice  je obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu pro neznámou funkci y nezávislé proměnné x.

Definice

Řešením neboli integrálem (také partikulárním řešením, partikulárním integrálem nebo integrální křivkou) rovnice  nazýváme každou funkci , která v uvažovaném oboru této rovnici identicky vyhovuje.

Poznámka

·        Uvažovaným oborem je nejčastěji otevřený interval I, speciálně např. okolí nějakého bodu nebo celá množina  reálných čísel.

·        Formulace „vyhovuje identicky“ znamená, že po dosazení řešení  za  do diferenciální rovnice dostaneme vztah, který je splněn ve všech bodech x uvažovaného oboru.

·        Řešení může být dáno také jako implicitní funkce, tzn. rovnicí , kdy  chápeme jako veličinu závislou na nezávislé proměnné .

·        Řešení diferenciální rovnice prvního řádu  má geometrický význam. Uvedenou rovnicí je dáno tzv. směrové pole, které každému bodu  z uvažovaného oboru přiřazuje směrový element (krátkou úsečku) se směrnicí . Vyřešit diferenciální rovnici znamená najít takové křivky, které se v každém svém bodě dotýkají směrového elementu.

Poznámka

Obecně vzato nemusí mít určitá diferenciální rovnice v uvažovaném oboru žádné řešení, několik řešení nebo i nekonečně mnoho řešení. V praxi je důležité vědět, zda řešení vůbec existuje a je-li (případně za jakých podmínek) jednoznačné. O tom hovoří následující věta.

Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení)

Nechť je dána diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci, tj. ve tvaru

,

a bod . Nechť funkce , , , ...,  jsou spojité (jako funkce n+1 proměnných) v okolí bodu P. Pak v určitém okolí bodu a existuje právě jedno řešení , které splňuje tzv. počáteční podmínky

, , ..., .

Poznámka

·        Počáteční podmínky předepisují hodnotu hledaného řešení a jeho  derivací ve vybraném bodě . Volbou počátečních podmínek si vlastně vybíráme z mnoha přípustných řešení pouze jediné.

·        Věta má lokální charakter (pojednává o řešení v okolí bodu a). Silnější větu, která by zaručovala existenci a jednoznačnost řešení v celém uvažovaném intervalu I, je možné formulovat např. pro tzv. lineární diferenciální rovnice (budou uvedeny dále). Obecně nalezneme-li řešení určité diferenciální rovnice s danými počátečními podmínkami v nějakém okolí bodu a, musíme vyšetřit, zda je možné toto řešení rozšířit i mimo toto okolí (např. na celý interval) a zda je toto rozšíření jednoznačné.

·        Obecnější tvar diferenciální rovnice, tj. , použít nelze, protože ani za uvedených poměrně přísných podmínek pro funkci F není zaručena jednoznačnost řešení.

Poznámka

Nalezené řešení (v okolí zvoleného bodu a) je dáno volbou počátečních podmínek, tzn. n-ticí hodnot . Je tedy funkcí n volných parametrů. Nabízí se otázka, zda je možné formulovat takové řešení dané diferenciální rovnice, ve kterém by vystupovalo n nezávislých parametrů (konstant nezávislých na proměnné x), jejichž vhodnou volbou by toto řešení přešlo v řešení vyhovující konkrétní počáteční podmínce.

Definice

Nechť  je (n+1)-rozměrná oblast složená z takových bodů , pro které má rovnice  právě jedno řešení. Obecným řešením (obecným integrálem) diferenciální rovnice  vzhledem k oblasti  rozumíme takovou funkci  proměnné x a konstant  takovou, že pro každý bod  lze těmto konstantám přiřadit (a to jednoznačně) takové číselné hodnoty, že vzniklá funkce proměnné x, tj. , je řešením dané diferenciální rovnice s počátečními podmínkami , , ..., .

Poznámka

·        Řečeno jinak, obecné řešení (vzhledem k oblasti ) v sobě obsahuje všechna partikulární řešení (odpovídající počátečním podmínkám ) a tato partikulární řešení z něj dostaneme vhodnou volbou konstant.

·        Žádná z konstant  v obecném řešení není zbytečná, tzn. nelze ji vypustit ani spojit s jinou konstantou. Pokud by bylo možné snížit počet konstant např. ekvivalentní úpravou a zavedením konstant nových, nemohlo by jít o obecné řešení.

·        Obecné řešení bylo výše exaktně definováno pouze pro diferenciální rovnici rozřešenou vzhledem k nejvyšší derivaci. Běžně se termín „obecné řešení“ (v určité oblasti ) používá volněji pro takovou funkci , kde vhodnou (ale ne nutně jednoznačnou) volbou konstant  lze splnit libovolné počáteční podmínky z oblasti . Počáteční podmínka, daná např. bodem , tedy může být splněna dvěma či více různými volbami konstant , kterým odpovídají různá partikulární řešení. V tomto smyslu lze hovořit i o obecném řešení diferenciální rovnice nerozřešené vzhledem k nejvyšší derivaci.

Příklad

Obecným integrálem diferenciální rovnice  vzhledem k oblasti  je funkce . Pro libovolné počáteční podmínky , , kde  (neboli bod ), stačí vzít , . Dosazením těchto hodnot do obecného integrálu obdržíme partikulární integrál

,

který splňuje původní diferenciální rovnici v celém reálném oboru a vyhovuje zvolené počáteční podmínce.

Poznámka

V praxi se poměrně často objevuje případ, kdy kromě obecného řešení nějaké diferenciální rovnice (vzhledem k nějaké oblasti ) existuje i řešení, které nelze získat z obecného řešení žádnou volbou konstant, ale které splňuje danou diferenciální rovnici pro určité počáteční podmínky.

Definice

Singulárním řešením (singulárním integrálem) diferenciální rovnice rozřešené vzhledem k nejvyšší derivaci nazýváme takové řešení (integrální křivku) této rovnice, v jehož každém bodě je porušena jednoznačnost, tzn. každým bodem  tohoto řešení prochází ještě jiné řešení (integrální křivka).

Poznámka

·        Singulárním řešením je např. obálka parametrického systému křivek tvořeného obecným řešením (pokud existuje) .

·        Věta o jednoznačnosti řešení není narušena, pouze v bodech, kterými singulární řešení prochází, nejsou splněny předpoklady její platnosti.

·        V praxi identifikujeme singulární řešení nejčastěji tak, že je (v protikladu k běžnému partikulárnímu řešení) nelze získat z obecného řešení žádnou volbou konstant.

·        Zobecnění na všechny diferenciální rovnice je možné požadavkem, aby každým bodem singulárního řešení procházelo jiné řešení (integrální křivka) se stejnou tečnou.