8.7 Vlastnosti diferenciálních operátorů 
Věta (linearita
operátorů)
Všechny uvedené diferenciální operátory (gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor, nabla operátor) jsou lineární, tzn. homogenní (pro k-násobný argument obdržíme k-násobek hodnoty pro argument) a aditivní (pro součet argumentů obdržíme součet hodnot pro jednotlivé argumenty).
Důkaz
Důkaz je triviální, plyne z vět pro derivaci součtu a součinu funkcí.
Věta (operátorové
identity)
,
,
,
,
,
.
Důkaz
Stačí aplikovat definice jednotlivých operátorů.
Poznámka
·
Poslední dvě identity vyjadřují důležitý poznatek, že pole 
(potenciální pole)
je vždy nevírové (jeho rotace je identicky rovna nule) a pole 
je nutně nezřídlové
(jeho divergence je identicky nulová).
·
Uvedené tvrzení platí za určitých, značně obecných podmínek[1] také obráceně, tzn. je-li nějaké vektorové pole
v určité oblasti 
nevírové (
), musí být gradientem
nějakého skalárního pole (
), a je-li pole
v 
nezřídlové (
), musí být rotací
nějakého vektorového pole (
).
Poznámka
·
Uvedené identity můžeme názorně zdůvodnit vyjádsřením vystupujících
operátorů pomocí nabla operátoru a použitím jednoduchých pravidel pro skalární
a vektorový součin.
·
Např. v předposlední identitě výraz 
nabývá tvaru 
, který můžeme
přepsat na 
(veličina 
zde hraje roli
skaláru). Protože vektorový součin dvou vektorů téhož směru je roven nulovému
vektoru, je 
, a tedy 
.
·
Obdobně v poslední identitě výraz 
přepíšeme na 
. Vektorový součin
je, jak známo,
kolmý k oběma činitelům, speciálně k (symbolickému) vektoru 
. To ovšem znamená,
že skalární součin 
, neboť skalární
součin dvou navzájem kolmých vektorů je z definice nulový.