8.6 Nabla operátor

Definice

Tzv. Hamiltonův operátor nabla (nabla operátor) je symbolický operátor, který se značí a zavádí se takto:

.

Formálně se jedná o vektor, jehož složkami jsou symboly parciálních derivací podle kartézských souřadnic x, y, z.

Poznámka

Nejedná se o operátor v pravém slova smyslu, neboť není dán předpis, jak tento operátor aplikovat ani jeho definiční obor. V tom je ale právě jeho přednost, protože se ukazuje, že pomocí nabla operátoru se dají elegantně vyjádřit všechny dříve uvedené diferenciální operátory.

Věta (vyjádření operátorů pomocí operátoru nabla)

gradient

součin vektoru  a skaláru u

divergence

skalární součin vektoru  a vektoru

rotace

vektorový součin vektoru  a vektoru

Laplaceův operátor

skalární součin vektoru  se sebou samým

Důkaz

Dokažme např. poslední vztah . Snadno nahlédneme, že z důvodu ortonormality báze  platí

.