8.5 Laplaceův operátor 
Definice
Laplaceovým operátorem rozumíme symbolický operátor
.
Aplikace Laplaceova operátoru na skalární pole:
.
Aplikace Laplaceova operátoru na vektorové pole:
.
Poznámka
·
Definici je možné zobecnit na případ 
proměnných.
·
Laplaceův
operátor lze také vyjádřit pomocí nabla operátoru, a to jako formální skalární
součin nabla operátoru sama se sebou 
.
· Výsledkem aplikace Laplaceova operátoru na skalární pole je skalární pole. Výsledkem aplikace Laplaceova operátoru na vektorové pole je vektorové pole, jehož každá složka je dána „skalární“ aplikací Laplaceova operátoru na stejně indexovanou složku výchozího pole.
·
Výraz 
se místo dlouhého
„Laplaceův operátor aplikovaný na pole 
“ obvykle zkracuje
na „Laplace u“ apod. Čtení „delta u“ je zde zcela nepřípustné,
neboť je vyhrazeno pro přírůstek veličiny u. Stejné grafické označení
v praxi nevadí, neboť z kontextu je vždy jasné, který případ nastává.
· Laplaceův operátor nemá tak názorný význam jako např. divergence nebo rotace, ale uplatňuje se značně v přírodních vědách, např. v elektřině a magnetismu, v nauce o vlnění, v rovnicích pro difúzi atd.
Věta
Pro Laplaceův operátor platí:
,
,
.
Důkaz
Důkaz je triviální, plyne z vět pro derivaci součtu a součinu funkcí.