8.2 Gradient

Definice

Gradientem skalárního pole se nazývá vektorové pole

,

kde x, y, z jsou kartézské souřadnice a , ,  příslušné vektory ortonormální báze.

Poznámka

·       Definici lze snadno zobecnit na případ  proměnných (viz kap. 2.3).

·       Gradient je vektor, jehož složkami jsou parciální derivace skalárního pole podle jednotlivých souřadnic.

·       Gradient zapíšeme pomocí nabla operátoru takto: . Formálně se tento zápis dá číst jako násobení vektoru  skalárem  (přičemž skalár je nestandardně zapsán až za vektorem).

Příklad

Snadno lze podle definice spočítat, že gradientem skalárního pole  tj. pole velikostí polohového vektoru , je vektorové pole

,

kde je jednotkový vektor ve směru .

Definice (potenciálního pole)

Existuje-li k vektorovému poli  takové skalární pole , že , pak vektorové pole  nazýváme potenciálním (konzervativním), skalární pole  potenciálem a hladiny tohoto pole ekvipotenciálními plochami (ekvipotenciálami)[1].

Věta

Přírůstek  hodnoty skalárního pole  při posunutí o infinitezimálně malý vektor  se vypočte skalárním součinem .

Důkaz

Důkaz je založen na definici totálního diferenciálu funkce více proměnných[2]:

.

Poznámka

·       Větu můžeme snadno zobecnit na případ  proměnných.

·       Z uvedeného plyne, že gradient skalárního pole je v každém bodě kolmý k jeho hladině. Důkaz je jednoduchý:  . Jinak řečeno, siločáry potenciálního pole jsou vždy kolmé k jeho ekvipotenciálám.

·       Z vyjádření skalárního součinu  ( je úhel mezi oběma vektory) je zřejmé, že pro konstantní délku  posunutí  dosáhne přírůstek  skalárního pole největší hodnoty tehdy, je-li vektor  rovnoběžný s gradientem a téhož směru (). Gradient má tedy v každém bodě skalárního pole směr největšího růstu tohoto pole. Naopak největšího úbytku pole dosáhneme pohybem ve směru opačném ke gradientu, nulové změny ve směrech kolmých ke gradientu[3].

Věta

Pro gradient platí:

,
,
.

Důkaz

Je triviální, stačí aplikovat základní věty platné pro derivace skalárních funkcí.

[1] Viz též kap. 5.4.
[2] Více o totálním diferenciálu viz kap. 2.4.
[3] Viz také kap. 2.3 – derivace ve směru.