Vztahpro zrychlení kmitavého pohybu lze nalázt pomocí souvislosti s pohybem rovnoměrným po kružnici. Tato souvislost je dobře patrná v modelu programu Famulus . Z modelu je vidět, že y-ová složka zrychlení hmotného bodu pohybujícího se po kružnici je rovna zrychlení kmitajícího hmotného bodu. . Vektor zrychlení a0 pohybu rovnoměrného po kružnici směřuje do středu kružnicové trajektorie a jeho velikost je a0 = w2r. Zrychlení kmitavého pohybu a je průmětem vektoru a0 do osy y. Je vidět, že vektor a má opačný směr, než jaký má v daném okamžiku vektor okamžité výchylky y. Proto má souřadnice zrychlení opačné znaménko než okamžitá výchylka a z pravoúhlého trojúhelníka pro ni plyne: a = -a0 sin j = -w2r sin wt Protože platí r = ym a ym sin wt = y, je vztah pro zrychlení kmitavého pohybu: a = - w2 ym sin (wt) = -w2y

Vidíme, že zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.


Vztah pro zrychlení kmitavého pohybu můžeme také získat derivováním vztahu pro rychlost v = wy_mcos wt podle času. Pro velikost zrychlení platí

Při derivování si je třeba uvědomit, že se jedná o derivaci složené funkce:

vnitřní funkce wt, její derivace (wt)' = w vnější funkce sin t, její derivace (cos t)' = - sin t konstanta wym se opíše { (A.f(t))' = A.f '(t) }

Pro zrychlení tak dostáváme:

Ukažme ještě jeden postup, jak získat průběh zrychlení pomocí vztahu pro rychlost. Budeme k tomu potřebovat program Famulus a přibližný vztah pro okamžité zrychlení a = Dv/Dt, Dt malé. (V modelu budeme používat značení Dt = dt a Dv = dv.) Vytvoříme následující model:

============================================= ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU -----------------konstanty------------------- dt= 0.001 -------------počáteční hodnoty--------------- A = 1 ! amplituda omega=2 ! úhlová frekvence v1= A*omega ! rychlost v čase t=0 t = 0 -------------------model--------------------- t = t+dt v2= A*omega*cos(omega*t) dv= v2-v1 a = dv/dt v1= v2 =============================================

Časový krok dt (=Dt) zvolíme dostatečně malý. V počátečním čase se oscilátor nachází v rovnovážné poloze, jeho rychlost je největší (v1= A*omega)
Na prvním řádku modelu se posuneme do dalšího časového okamžiku a ryclost v tomto následujícím čase označíme v2 (druhý řádek modelu). Pomocí hodnot v1 a v2 můžeme na třetím řádku vypočíst změnu rychlosti za čas dt, a pomocí ní získáme jeho zrychlení. Na posledním řádku uložíme do v1 hodnotu v2 abychom po vypočtení nové hodnoty v2 v dalším cyklu získali dv. Takto se výpočet opakuje dokola.
Zbývá navolit zobrazení, například:
Po spuštění modelu dostaneme časový průběh rychlosti bíle a zrychlení červeně. Z grafu je vidět, že rychlost kmitavého pohybu se mění podle funkce kosinus a pro amplitudu rychlosti platí v_m = wy_m (v našem případě v_m = 2), tedy

a = - w2 ym sin (wt)