Dynamika kmitavého pohybu

pohybová rovnice |  parametry mech. oscilátoru |  tuhost pružiny |  F=-ky |  úhlová frekvence w(m,k)

Dynamika zkoumá příčiny pohybu. Příčinou kmitání mechanického scilátoru je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla. Ze znalosti zrychlení harmonického kmitavého pohybu (a = -w2y) a 2. Newtonova zákona ( F = ma ) můžeme obecně vyjádřit velikost síly, která způsobuje harmonické kmitání:

Tuto rovnici také označujeme jako pohybovou rovnici harmonického kmitavého pohybu.

Úkolem je však určit souvislost úhlové frekvence w s konkrétními vlastnostmi mechanického oscilátoru, tedy s parametry oscilátoru . Parametry pružinového oscilátoru jsou hmotnost m zavěšeného tělesa a tuhost k pružiny.

Jestliže na pružinu původní délky l0 zavěsíme závaží o hmotnosti m, pružina se prodlouží na délku l = l0+Dl. Zavěsíme-li na tuto pružinu závaží o dvojnásobné hmotnosti (tzn. působíme na pružinu dvojnásobnou silou), bude i prodloužení pružiny dvojnásobné. Vidíme, že prodloužení pružiny Dl je přímo úměrné působící síle F. Jestliže konstantu úměrnosti označíme k, můžeme psát F = kDl. Konstantu k nazýváme tuhost pružiny a je tedy definována vztahem:

To znamená, že tuhost pružiny je tím větší, čím větší sílu potřebujeme k jejímu prodloužení o stejnou délku. Jednotka tuhosti [k] = N.m-1.

Pro sílu působící na těleso mechanického oscilátoru platí:

   Na těleso mechanického oscilátoru působí proměnlivá síla o souřadnici
F = - ky,
která stále směřuje do rovnovážné polohy a je příčinou kmitavého pohybu oscilátoru.

Srovnáním získaného vztahu pro sílu (F = - ky) a pohybové rovnice harmonického kmitání (F = - mw2y) získáme souvislost úhlové frekvence s parametry oscilátoru:


   Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny. Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru a jeho úhlovou frekvenci označíme w0:

Úpravou najdeme vztah pro periodu T0 a frekvenci f0 vlastního kmitání mechanického oscilátoru.




Průběh harmonické síly a závislost periody pružinováho oscilátoru na parametrech.
Závislost periody pružinováho oscilátoru na parametrech. Můžete měnit tuhost pružiny a hmotnost zavěšeného tělesa.
Ověřte si své znalosti!