1. Matice – základní pojmy

Maticí A typu (m, n) nazýváme schéma mn čísel (reálných nebo i komplexních) , sestavených v m řádcích a n sloupcích:

.

První index v označení prvku je tedy řádkový, druhý sloupcový. Často používaný zkrácený zápis (pokud víme, o jaký typ matice se jedná, je . Prvky pro dané i tvoří i-tý řádek, prvky pro dané k tvoří k-tý sloupec. Řádky a sloupce se souhrnně nazývají řady.

Je-li m=n, pak se A nazývá čtvercovou maticí m-tého stupně (m-tého řádu), jinak se jedná o matici obdélníkovou.

Prvky tvoří hlavní diagonálu a nazývají se hlavní prvky, prvky tvoří vedlejší diagonálu.

Nulovou maticí nazýváme matici, jejíž všechny prvky se rovnají nule. Značíme obvykle symbolem 0 nebo číselnou nulou (0).

Diagonální maticí nazýváme čtvercovou matici, u které prvky na hlavní diagonále jsou různé od nuly a ostatní prvky rovny nule.

Jednotkovou maticí nazýváme takovou diagonální matici, jejíž všechny hlavní prvky jsou rovny 1. Jednotková matice se obvykle značí E, I nebo i číslem 1.

Horní (také pravou) trojúhelníkovou maticí nazýváme čtvercovou matici , jestliže pod hlavní diagonálou jsou všechny prvky nulové, tzn. .

Dolní (také levou) trojúhelníkovou maticí nazýváme čtvercovou matici , jestliže nad hlavní diagonálou jsou všechny prvky nulové, tzn. .

2. Hodnost matice a elementární úpravy

Hodností matice A typu nazýváme maximální počet lineárně nezávislých řádků, který je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců matice A. Má-li tedy např. matice A 5 lineárně nezávislých řádků, pak její hodnost je rovna 5. Z definice zřejmě plyne .

Elementárními úpravami matice A rozumíme takové úpravy, které nemění její hodnost. Jsou to:

1. Přehození pořadí řad.
2. Vynásobení některé řady číslem různým od nuly.
3. Přidání k matici A řady, která je lineární kombinací ostatních řad matice A.
4. Vynechání v matici A řady, která je lineární kombinací ostatních řad matice A.
5. Přičtení k některé řadě matice A lineární kombinace ostatních řad.

O matici B, která je stejného typu jako matice A, a vznikla z matice A elementárními úpravami, říkáme, že je ekvivalentní s maticí A. Zapisujeme A~B. Ekvivalentní matice mají tedy stejnou hodnost.

3. Operace s maticemi

Rovnost matic. Matice se rovná matici právě tehdy, jsou-li obě matice stejného typu a jejich stejnolehlé prvky se rovnají. Jiný zápis:.

Součet dvou matic. Matice C je součtem matic A, B právě tehdy, jsou-li všechny tři matice téhož typu a platí, že každý prvek matice C je součtem stejnolehlých prvků matic A, B. Jiný zápis:. Je zřejmé, že pro sčítání matic platí asociativní a komutativní zákon:

, .

Násobení matice číslem. Součinem matice a čísla je matice stejného typu jako matice A, pro jejíž prvky platí . Jiný zápis:

Násobení matic. Součinem matice typu a matice typu nazýváme matici typu , kterou označujeme (nebo s tečkou) a pro jejíž prvky platí: .

1. Součin matic je tedy definován pouze tehdy, je-li počet sloupců první (levé) matice roven počtu řádků (druhé) pravé matice.
2. Prvek součinu je vlastně skalárním součinem i-tého řádku matice A a k-tého sloupce matice B.
3. Násobkem čtvercové matice A a jednotkové matice E (téhož typu) je původní matice A: .
4. Máme-li  součin , říkáme, že matice A násobí matici B zleva, nebo také že matice B násobí matici A zprava. Obecně totiž neplatí komutativní zákon, tzn. pro většinu matic.
5. Pro násobení matic platí distributivní zákony a asociativní zákon:
   , ,

Inverzní maticí k čtvercové matici A nazýváme takovou matici (pokud existuje) stejného typu, pro kterou platí , kde E je jednotková matice (téhož typu). Inverzní matice k matici A řádu n existuje právě tehdy, je-li hodnost čtvercové matice A rovna jejímu řádu n, tj. . Taková matice se nazývá regulární; pokud , hovoříme o matici singulární.

K výpočtu inverzní matice se nejčastěji používá Gaussovy metody inverze matic. Tato metoda je založena na tom, že k inverzní matici lze přejít pomocí pouze řádkových, příp. sloupcových elementárních úprav, přičemž nejprve dostaneme jednotkovou matici, a pak aplikací týchž elementárních úprav ve stejném pořadí přejdeme k inverzní matici.

Mocniny matic. Pro čtvercovou regulární matici A definujeme celočíselnou mocninu takto ():

1. , tzn. jako opakované násobení n stejných matic .
2. , tzn. jako opakované násobení n inverzních matic .
3. .

Platí obdobná věta jako pro číselné mocniny: , .

Transponovanou maticí k matici A typu nazýváme matici typu takovou, kterou dostaneme z matice A záměnou (transpozicí) řádků a sloupců. Označíme-li prvek v i-tém řádku a k-tém sloupci transponované matice , pak můžeme psát: . Jinak řečeno, transponovaná matice vznikne překlopením matice A kolem její hlavní diagonály.

Pokud pro čtvercovou matici A platí rovnost , hovoříme o souměrné (symetrické) matici. Pro její prvky tedy platí .

4. Determinant

Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme číslo , kde sčítáme přes všechny permutace P množiny a je znaménko permutace P.

1. Znaménko permutace P je dáno vztahem , kde r je počet tzv. inverzí v permutaci P. Inverzí v permutaci nazýváme každou dvojici , pro kterou platí . Pokud je číslo r sudé, hovoříme o sudé permutaci a její znaménko je rovno 1, pokud je r liché, jedná se o lichou permutaci a její znaménko je rovno –1. Tak např. permutace je lichá, protože obsahuje 3 inverze: .
2. Kromě uvedeného značení pomocí symbolu nebo se používá také stejný zápis jako u matic, ale místo kulatých závorek se píší svislé čáry jako u absolutní hodnoty.
3. Sčítance se nazývají členy determinantu. Z definice determinantu je zřejmé, že každý člen determinantu

Subdeterminantem (minorem) k-tého řádu matice A typu nazýváme determinant takové matice, která vznikne z matice A vypuštěním tolika řádků a sloupců, aby z ní zbyla čtvercová matice k-tého řádu.

Vypočítat determinant matice prvního řádu je triviální: (pozor, nejedná se o absolutní hodnotu, ale označení determinantu), výsledkem je tedy hodnota jediného prvku této matice.

Výpočet determinantu matice druhého řádu je také velmi snadný: .

Výpočet determinantu matice třetího řádu je již méně příjemný, protože bude mít 6 členů (=3!) a hůře se také zjišťuje znaménko každého členu. Používá se proto schéma zvané Sarrusovo pravidlo: K matici A připíšeme první dva sloupce (obdobně je možné formulovat toto pravidlo pro řádky, to zde nebudeme dělat) a pak provádíme součiny po přímých čárách tak, jak je naznačeno na schématu, přičemž jde-li čára ve směru zleva doprava, je znaménko kladné, v opačném případě záporné.

1. .
2. Zaměníme-li v matici navzájem dvě rovnoběžné řady, změní determinant znaménko.
3. Společného nenulového činitele jedné řady lze vytknout před determinant.
4. Determinant je roven nule právě tehdy, jestliže prvky alespoň jedné řady jsou rovny nule nebo jestliže nějaká řada je lineární kombinací řad s ní rovnoběžných.
5. Determinant se nezmění, přičteme-li k libovolné řadě jakoukoliv lineární kombinaci ostatních řad s ní rovnoběžných.
6. Rozvoj determinantu podle prvků jedné řady:
   (rozvoj podle i-tého řádku), resp. (rozvoj podle k-tého sloupce),
   kde číslo je tzv. algebraický doplněk prvku a

Z věty ad 4) plyne, že determinant regulární matice je různý od nuly. Máme tedy tři ekvivalentní vyjádření pro regulární matici: matice A typu je regulární .

5. Řešení soustav lineárních rovnic

Soustavou n lineárních rovnic o n neznámých rozumíme tuto soustavu rovnic:

Matici typu nazveme maticí soustavy, matici typu , která vznikne z matice A přidáním sloupce pravých stran, nazveme rozšířenou maticí soustavy. Dále označme sloupcovou matici , resp. jako vektor neznámých, resp. vektor pravých stran. Pak původní soustavu můžeme zapsat v maticovém tvaru .

Podmínky řešitelnosti soustavy lineárních rovnic řeší následující věta:

Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, má-li matice soustavy a rozšířená matice soustavy stejnou hodnost h. Pro existuje právě jedno řešení, pro existuje řešení nekonečně mnoho.

1. Žádné řešení, tzn. případ, kdy hodnost matice soustavy se nerovná hodnosti rozšířené matice soustavy, nastane tehdy, když si rovnice vzájemně odporují, např. je-li levá strana nějaké rovnice lineární kombinací levých stran ostatních rovnic, ale její pravá strana není stejnou lineární kombinací pravých stran příslušných rovnic.
2. Nekonečně mnoho řešení, tzn. případ, kdy hodnost matice soustavy se rovná hodnosti rozšířené matice soustavy, ale je menší než n, nastane tehdy, když nějaká rovnice je již “obsažena” v ostatních rovnicích, např. je jejich lineární kombinací. Pak počet proměnných převyšuje počet nezávislých rovnic a je možné alespoň jednu proměnnou zvolit za parametr.
3. Z uvedeného plyne, že právě jedno řešení má soustava tehdy a jen tehdy, je-li matice soustavy regulární.
4. V případě homogenní soustavy (tj. soustavy, kdy vektor pravých stran b je nulovou maticí, tzn.

Konkrétní tvar řešení udává tzv. Cramerovo pravidlo:

Jestliže determinant matice soustavy je různý od nuly , pak má soustava právě jedno řešení , kde, přičemž je determinant matice A_i, která vznikne z matice soustavy A tak, že v ní i-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran.

Cramerovo pravidlo se nehodí k praktickému řešení soustav lineárních rovnic, protože počítat determinanty je obecně dosti pracné. Má svůj význam především teorii, protože nám explicitně ukazuje tvar řešení. Nejpoužívanější metodou pro řešení soustav lineárních rovnic je Gaussova eliminační metoda, která v maticové formulaci znamená v podstatě převod rozšířené matice soustavy na horní trojúhelníkovou matici. Při převodu se používají ty úpravy, které nemění determinant, zejména přičítání lineární kombinace ostatních řádků k danému řádku.

[ nahoru ]