Exponenciální funkcí je každá funkce tvaru , kde , . Číslo a je tzv. základ (jako u mocniny).

1. Základ vylučujeme z toho důvodu, že funkce je funkce konstantní a má některé vlastnosti dosti odlišné od vlastností ostatních exponenciálních funkcí, nikoliv proto, že by tento výraz nebyl dobře definován.
2. Zvláštní význam má exponenciální funkce, jejíž základ je tzv. Eulerovo číslo . Kromě zápisu se pro ni často používá zápis , zvláště tehdy, má-li exponent složitější strukturu.

Základní vlastnosti exponenciální funkce: definována je pro všechna reálná čísla, je prostá, ryze monotónní, pro rostoucí, pro klesající, omezená pouze zdola (např. nulou), kladná, graf prochází body [0, 1] a [1, a]. Graf exponenciální funkce pro základ větší i menší než jedna je na obrázku (): Pro rychlou orientaci v různých problémech je bezpodmínečně nutné znát jeho tvar zpaměti a umět si ho kdykoliv vybavit.

Protože exponenciální funkce vzniká v podstatě z obecné mocninné funkce převedením proměnné ze základu do exponentu, platí pro ni obdobné věty jako pro obecnou mocninu:
, , , , , .

Logaritmickou funkcí (logaritmem) při základu a nazýváme funkci inverzní k funkci exponenciální (pro , .).
Matematický zápis: . Slovně řečeno, “logaritmem čísla x při základu a je takové číslo y, pro které platí, že x se rovná a na y”.

1. Nyní jsme nutně museli vyloučit případ , protože konstantní funkce není prostá a neexistuje k ní tedy funkce inverzní.
2. Ve dvou případech se zavádí speciální pojmenování a označení. Pro základ mluvíme o “desítkovém logaritmu” a píšeme prostě , tzn. vynecháváme index 10. Pro základ e (Eulerovo číslo) mluvíme o “přirozeném logaritmu (logaritmus naturalis)” a píšeme .

Základní vlastnosti logaritmické funkce: definována pouze pro kladná x, je prostá, pro rostoucí, pro klesající, neomezená zdola ani shora, graf prochází body [1, 0], [a, 1]. Graf logaritmické funkce pro základ větší i menší než jedna je na obrázku (). I jeho tvar je nutné si dokonale zapamatovat.

Z definice logaritmické funkce a vlastností exponenciální funkce se dají dokázat tyto, pro výpočty velmi důležité věty, které platí pro každé , , , , :
, , ,
nebo-li “logaritmus součinu je roven součtu logaritmů”,
nebo-li “logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů”, speciálně ,
nebo-li “logaritmus k-té mocniny je roven k-násobku logaritmu”,
, což je vzorec pro převod logaritmu na jiný základ, speciálně .

Pozor!!! Obecně neplatí žádná obdobná věta o součinu, podílu nebo mocnině logaritmu, tzn. že “součin logaritmů není obecně roven logaritmu součinu”, “podíl logaritmů není obecně roven logaritmu podílu” a “mocnina logaritmu není obecně rovna logaritmu mocniny”. To je třeba si jasně uvědomit a odlišit tyto případy od platných vět uvedených výše!

Logaritmovat (zlogaritmovat) výraz znamená vyjádřit jeho logaritmus pomocí logaritmů jednodušších výrazů, příp. proměnných. Používá se přitom zejména vět o logaritmu součinu, podílu a mocniny.

Příklad: Logaritmujte při základu 10 výraz .

Řešení: Aplikujeme operaci “log” na obě strany rovnice a upravíme podle uvedených vět: .

Odlogaritmovat výraz znamená vyjádřit výraz, jehož logaritmus je znám a je zapsán zpravidla pomocí logaritmů jednodušších výrazů, příp. proměnných. Používá se opět vět o logaritmu součinu, podílu a mocniny, tentokrát ale v obráceném směru.

Příklad: Odlogaritmujte výraz .

Řešení: Můžeme použít dvě ekvivalentní metody:

1. Upravíme pravou stranu tak, aby měla tvar levé strany, tzn : .
   Nyní z rovnosti funkčních hodnot plyne rovnost argumentů (logaritmus je funkce prostá!), tzn. , a tedy .
2. Jinou možností je nahradit výraz na každé straně exponenciální funkcí s exponentem rovným výrazu na této straně (z rovnosti argumentů plyne rovnost funkčních hodnot): . Tuto rovnici dále upravíme podle výše uvedených vět o logaritmické, resp. exponenciální funkci:

1. Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar .
2. Zlogaritmujeme rovnici při základu a, dostaneme rovnici .
3. Získanou rovnici vyřešíme.
4. Zkouškou a porovnáním s podmínkami (definičním oborem apod.) ověříme nalezené kořeny.

Příklad: Řešte rovnici .
Řešení: Zlogaritmujeme obě strany přirozeným logaritmem (je možné samozřejmě použít logaritmus o libovolném základu): . Vzniklá rovnice je lineární a jejím řešením je . Vzniklý výraz již rozumně upravit nelze (!), maximálně jej můžeme převést na tvar , který je ale pro číselný výpočet méně vhodný. Proveďme ještě zkoušku, i když jsme použili pouze ekvivalentní úpravy a definičním oborem původních výrazů je R. Procvičíme se tím v úpravě výrazu s logaritmy: .

1. Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar .
2. Odlogaritmujeme rovnici při základu a, dostaneme rovnici .
3. Získanou rovnici vyřešíme.
4. Zkouškou a porovnáním s podmínkami (definičním oborem apod.) ověříme nalezené kořeny.

Příklad: Řešte v R rovnici: .

Řešení: Pravou stranu upravíme: a odlogaritmujeme. Dostaneme lineární rovnici , jejímž řešením je . Zkouška: .

Exponenciální a logaritmické nerovnice řešíme obdobně jako rovnice, tzn. převedeme na vhodný tvar a zbavíme se exponenciální funkce, resp. logaritmu, zlogaritmováním, resp. odlogaritmováním. Výslednou nerovnici řešíme vhodnou metodou. Při logaritmování, resp. odlogaritmování, je ale nutné dávat pozor na znaménko nerovnosti, protože, jak už víme, exponenciála a logaritmus jsou rostoucí pro a klesající pro .

Příklad: Řešte v R nerovnici .

Řešení:

Příklad: Řešte v R nerovnici .

Řešení: