Hmotnost nekonečně tenkého vlákna

Definice

Nekonečně tenké vlákno reprezentujeme v rovině parametricky zadanou křivkou   a  ,  kde parametr   a vektorová funkce    je prostá na  [1]. Označme    hmotnost malé části vlákna, pro kterou parametr nabývá hodnot z intervalu . Pak lineární hustotou vlákna v bodě odpovídajícím hodnotě parametru  t  nazveme veličinu [2]

.

Zadání

Určete hmotnost  m  nekonečně tenkého vlákna se zadanou lineární hustotou .

Řešení

Interval  nejdříve rozdělíme dostatečně jemným dělením a hustotu  považujeme na každém takto získaném segmentu za konstantní. Pak ovšem můžeme psát [3]

,

kde  ,  i   jsou obecně různá čísla z i-tého dělicího intervalu. Podobně jako v úloze 3 nedospíváme sice takto k „čistou“ Riemannově integrální sumě, opět lze však dokázat, že platí

Poznámka

Pro vlákno v prostoru s parametrizací  ,    a    je možno odvodit obdobný vzorec



[1] Vlákno tedy v žádném bodě neprotíná samo sebe, nanejvýš může mít tvar uzavřené smyčky.

[2] Všimněte si, že ve jmenovateli uvedené definiční rovnosti stojí přibližný výraz pro délku části vlákna na intervalu .

[3] S využitím Lagrangeovy věty o přírůstku.