6.4 Integrace racionálních lomených funkcí Racionální lomené funkce (podíly dvou polynomů) mají mezi ostatními funkcemi poněkud výsadní postavení. Pomocí speciálních substitucí (viz podkap. 6.5, Speciální substituce) obvykle totiž umíme i značně komplikované integrály převést na integrály racionálních lomených funkcí. Naučíme-li se tedy racionální lomené funkce integrovat, poradíme si i s funkcemi mnohem složitějšími.
V této podkapitole si ukážeme, že pro integraci racionálních lomených funkcí existuje obecný návod. Výklad je rozdělen do několika částí. Po formulaci definice racionální lomené funkce ukazujeme ve třech oddělených odstavcích, jak integrovat
·
racionální lomenou funkci s lineárním
dvojčlenem ve jmenovateli,
·
racionální lomenou funkci s kvadratickým
trojčlenem ve jmenovateli
·
a nakonec i obecnou racionální
lomenou funkci.
Doporučujeme číst jednotlivé odstavce v pořadí, v jakém jsou číslovány, protože výsledky prvního z nich používáme ve druhém a v posledním odstavci využíváme všeho, co bylo formulováno v předchozích dvou. Doporučujeme pečlivě provést všechny naznačené výpočty a důkladně si promyslet obecný návod uvedený v posledním odstavci. Látka v něm vyložená je poměrně obtížná a vyžaduje značné soustředění. Také byste měli každý obecný příklad procvičit na konkrétních úlohách.
Znalosti a dovednosti
Po prostudování tohoto odstavce byste měli umět integrovat libovolnou racionální
lomenou funkci s lineárním dvojčlenem či kvadratickým trojčlenem ve jmenovateli.
Pro obecnou racionální funkci byste měli znát návod, jak ji integrovat. Upozorňujeme
ovšem, že v obecném případě se mohou při jeho použití vyskytnout takřka nepřekonatelné
potíže při rozkladu jmenovatele na součin lineárních dvojčlenů a nerozložitelných
kvadratických trojčlenů.